Question

设E，F分别在矩形ABCD边BC和CD上，△ABE、△ECF、△FDA的面积分别是a，b，c．求△AEF的面积S

设E，F分别在矩形ABCD边BC和CD上，△ABE、△ECF、△FDA的面积分别是a，b，c．求△AEF的面积S．

Answer 1

解：设AB=x₁，BE=x₂，EC=x₃，CF=x₄，则FD=x₁-x₄，AD=x₂+x₃，
由题意得x₁?x₂=2a，x₃?x₄=2b，
（x₁-x₄）×（x₂+x₃）=2c，即x₁?x₃-x₂?x₄=2（b+c-a），
又x₁x₂x₃x₄=4ab
代入x₂x₄=x₁x₃-2（b+c-a）得关于x₁x₃的一元二次方程，即
（x₁x₃）²-2（b+c-a）x₁x₃-4ab=0
解之得x₁x₃=（b+c-a）+

＜(b+c-a)2+4

又S_矩形=x₁（x₂+x₃）=2a+（b+c-a）+

(b+c-a)2+4ab

=（a+b+c）+

(b+c-a)2+4ab

∴S_△AEF=S_矩形-S_△ABE-S_△CEF-S_△ADF
=（a+b+c）+

(b+c-a)2+4ab

-a-b-c
=

(b+c-a)2+4ab