已知函数f（x）=ex，x∈R的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称．（Ⅰ） 若直线y=kx+1与g（x）的图象相切
已知函数f（x）=ex，x∈R的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称．（Ⅰ）若直线y=kx+1与g（x）的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）判断曲线y=f（x）与曲线y＝1...
已知函数f（x）=ex，x∈R的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称．（Ⅰ） 若直线y=kx+1与g（x）的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ） 判断曲线y=f（x）与曲线y＝12x2+x+1公共点的个数．（Ⅲ） 设a＜b，比较f(a)+f(b)2与f(b)?f(a)b?a的大小，并说明理由．
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（Ⅰ）∵函数y=ex（x∈R）的反函数是y=lnx（x＞0），
∴g（x）=lnx．
设直线y=kx+1与g（x）=lnx相切于点P（x0，y0），
则
，解得
．
∴k=e-2．
（Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y＝
x2+x+1有唯一公共点，过程如下．
令h(x)＝f(x)?
x2?x?1＝ex?
x2?x?1，x∈R，则h'（x）=ex-x-1，
h'（x）的导数h''（x）=ex-1，且h（0）=0，h'（0）=0，h''（0）=0，
当x＜0时，h''（x）＜0?y=h'（x）单调递减；当x＞0时h''（x）＞0?y=h'（x）单调递增?y=h'（x）≥h'（0）=0，
∴y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，
而0是h（x）的零点．
∴曲线y=f（x）与曲线y＝
x2+x+1只有唯一公共点（0，1）．
（Ⅲ）∵
?
＝
=
＝
∴g（x）=lnx．
设直线y=kx+1与g（x）=lnx相切于点P（x0，y0），
则
|
|
∴k=e-2．
（Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y＝
| 1 |
| 2 |
令h(x)＝f(x)?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
h'（x）的导数h''（x）=ex-1，且h（0）=0，h'（0）=0，h''（0）=0，
当x＜0时，h''（x）＜0?y=h'（x）单调递减；当x＞0时h''（x）＞0?y=h'（x）单调递增?y=h'（x）≥h'（0）=0，
∴y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，
而0是h（x）的零点．
∴曲线y=f（x）与曲线y＝
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）∵
| f(a)+f(b) |
| 2 |
| f(b)?f(a) |
| b?a |
| (b?a+2)?f(a)+(b?a?2)?f(b) |
| 2?(b?a) |
=
| (b?a+2)?ea+(b?a?2)?eb |
| 2?(b?a) |
