已知等比数列{an}的首项a1=2011，公比q＝?12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn．（1）证明：S2≤Sn
已知等比数列{an}的首项a1=2011，公比q＝?12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn．（1）证明：S2≤Sn≤S1；（2）判断Tn与Tn+1的大小，并...
已知等比数列{an}的首项a1=2011，公比q＝?12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn．（1）证明：S2≤Sn≤S1；（2）判断Tn与Tn+1的大小，并求n为何值时，Tn取得最大值；（3）证明：若数列{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d1，d2，…，dn，则数列{dn}为等比数列．
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（1）证：Sn＝S1+
＝S1?
a1[1?(?
)n?1]≤S1，
当n=1时，等号成立…2分
Sn＝S2+
＝S2+
a1[1?(?
)n?2]≥S2，
当n=2时，等号成立
∴S2≤Sn≤S1．…4分
（2）解：∵
＝
=|an+1|=
，
∴当n≤10时，|Tn+1|＞|Tn|，
当n≥11时，|Tn+1|＜|Tn|，
故|Tn|max=|T11|…7分
又T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0，
∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者，
∵
=a10a11a12=[2011（?
）10]3＞1，
∴T12＞T9
因此当n=12时，Tn最大．…10分
（3）证：∵an=2011（?
）n-1，
∴|an|随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负
①当k是奇数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为ak+1，ak+2，ak，
则ak+1+ak＝a1(?
)k+a1(?
)k?1＝
a2[1?(?
| ||
1?(?
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| 3 |
| 1 |
| 2 |
当n=1时，等号成立…2分
Sn＝S2+
a3[1?(?
| ||
1?(?
|
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
当n=2时，等号成立
∴S2≤Sn≤S1．…4分
（2）解：∵
| |Tn+1| |
| |Tn| |
| a1a2…anan+1 |
| a1a2…an |
| 2011 |
| 2n |
∴当n≤10时，|Tn+1|＞|Tn|，
当n≥11时，|Tn+1|＜|Tn|，
故|Tn|max=|T11|…7分
又T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0，
∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者，
∵
| T12 |
| T9 |
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| 2 |
∴T12＞T9
因此当n=12时，Tn最大．…10分
（3）证：∵an=2011（?
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∴|an|随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负
①当k是奇数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为ak+1，ak+2，ak，
则ak+1+ak＝a1(?
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