Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，直线y＝34x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B，且A，B两点也是⊙M

如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，直线y＝34x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B，且A，B两点也是⊙M与该直线的交点．（1）求出A，B的坐标；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上且抛物线经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，判断是否存在x轴上的点P，使以P，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）直线y＝

3

4

x?6中，y=0，则x=8；x=0，则y=-6；
∴A（8，0），B（0，-6）；

（2）由于AB是⊙M的直径，则有：M（4，-3）；
Rt△OAB中，OA=8，OB=6，由勾股定理得：AB=10；
∴C点坐标为（4，2）或（4，-8）；
当C点坐标为（4，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+2（a≠0），则有：
a×16+2=-6，解得a=-

1

2

；
当C点坐标为（4，-8）时，设抛物线的解析式为y=a′（x-4）²-8（a′≠0），则有：
a′×16-8=-6，解得a′=

1

8

；
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

（x-4）²+2或y=

1

8

（x-4）²-8；
即y=-

1

2

x²+4x-6或y=

1

8

x²-x-6；

（3）假设存在符合条件的P点；
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠POB=90°；
需要分两种情况：
①当C点坐标为C（4，2）时，AC=2

5

，BC=4

5

；
若以P，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，则有：△POB∽△ACB或△POB∽△BCA；
得：

PO

BO

＝

AC

BC

＝

1

2

或

PO

BO

＝

BC

AC

＝2；
∵OB=6，∴OP=3或12，即P（3，0）或（12，0）；
②当C点坐标为C′（4，-8）时，由于CC′、AB同为⊙M的直径，所以四边形AC′BC是矩形，则△ACB与△AC′B全等，所以此种情况同①；
因此存在符合条件的P点，且P点坐标为：（3，0）或（12，0）．