Question

如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x2-6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴

如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x2-6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA：AC=2：5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D．（1）求出点A、点B的坐标．（2）请求出直线CD的解析式．（3）若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M，使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x²-6x+8=0，
∴x₁=4，x₂=2（1分），
∵0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B，
∴0A=2，0B=4（1分），
∴A（0，2），B（-4，0）（1分）；

（2）∵0A：AC=2：5，OA=2，
∴AC=5，
∴OC=OA+AC=2+5=7，
∴C（0，7）（1分），
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，
∴∠PBD=∠OCD，
∵∠BOA=∠COD=90°，
∴△BOA∽△COD，
∴

BO

CO

=

OA

OD

，
∴OD=

OA?CO

BO

=

2×7

4

=

7

2

（1分），
∴D（

7

2

，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，7），D（

7

2

，0）分别代入得：

b＝7 7 2 k+b＝0

，
∴

b＝7 k＝?2

（1分），
∴y_CD=-2x+7（1分）；

（3）存在，
∵A（0，2），B（-4，0），
∴设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴

b＝2 ?4k+b＝0

，
解得：

k＝ 1 2 b＝2

，
故直线AB的解析式为：y=

1

2

x+2，
将直线AB与直线CD联立

y＝ 1 2 x+2 y＝?2x+7

，
解得：

x＝2 y＝3

，
∴P点坐标（2，3），
∵D（

7

2

，0），B（-4，0），
∴BD=7.5，
当PM₁BD是平形四边形，
则BD=PM ₁=7.5，
∴AM ₁=5.5，
∴M₁（-5.5，3），
当PBDM₂是平形四边形，
则BD=PM ₂=7.5，
∴AM ₂=9.5，
∴M₂（9.5，3），
P到x轴距离等于M₃到x轴距离，故M₃的纵坐标为-3，
∵BE=DF=BD-DE=6，
∴FO=6-3.5=2.5，
∴M₃的横坐标为-2.5，
∴M₃的坐标为（-2.5，-3）；
综上所述M点的坐标为：M₁（-5.5，3），M₂（9.5，3），M₃（-2.5，-3）（3分）．
注：本卷中各题若有其它正确的解法，可酌情给分．