Question

已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若bn=2n(an+2)，则数列{bn}的前n项和的取

已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若bn=2n(an+2)，则数列{bn}的前n项和的取值范围是（　　）A．[12，1）B．（0，1）C．（0，12]D．（1，+∞）

Answer 1

设等差数列{a_n}是公差为d，且d不为0，
由a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比数列得，（2+4d）²=（2+d）（2+7d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n，
则b_n=

2

n(an+2)

=

2

n(2n+2)

1

n(n+1)

=

1

n

?

1

n+1

，
所以数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

?

1

3

）+…+（

1

n

?

1

n+1

）=1?

1

n+1

＜1，
又n≥1，所以S_n≥

1

2

，
所以数列{b_n}的前n项和S_n的取值范围是[

1

2

，1），
故选：A．