Question

已知正数xy,满足x+2√xy≤λ(x+y)恒成立，则实数λ的最小值为？

Answer 1

x+2√xy≤λ(x+y)
∵x>0,y>0
∴λ≥[x+2√(xy)]/(x+y)
设u=[x+2√(xy)]/(x+y)
=[1+2√(y/x)]/(1+y/x)
设y/x=t
u=(1+√t)/(1+t)
=(1+√t)/[(1+√t)^2-2(√t+1)+2]
=1/[(1+√t)+2/(1+√t)-2]
根据均值定理
(1+√t)+2/(1+√t)≥2√2
当且仅当(1+√t)=2/(1+√t)
即√t=√2-1时，取等号
∴(1+√t)+2/(1+√t)-2≥2(√2-1)
0<1/[(1+√t)+2/(1+√t)-2]≤(√2+1)/2
即u的最大值为(√2+1)/2
∴λ≥(√2+1)/2
λ最小值为(√2+1)/2.