Question

已知复数z 1 满足：|z 1 |=1+3i-z 1 ．复数z 2 满足：z 2 ?（1-i）+（3-2i）=4+i．（1）求复数z 1 ，z 2

已知复数z 1 满足：|z 1 |=1+3i-z 1 ．复数z 2 满足：z 2 ?（1-i）+（3-2i）=4+i．（1）求复数z 1 ，z 2 ；（2）在复平面内，O为坐标原点，记复数z 1 ，z 2 对应的点分别为A，B．求△OAB的面积．

Answer 1

（1）设z 1 =x+yi（x，y∈R）， 由|z 1 |=1+3i-z 1 ，得 x 2 + y 2 =1+3i-(x+yi) =1-x+（3-y）i， ∴ 1-x= x 2 + y 2 3-y=0 ，解得 x=-4 y=3 ． ∴z 1 =-4+3i． 而z 2 ?（1-i）=1+3i， ∴ z 2 = 1+3i 1-i = (1+3i)(1+i) (1-i)(1+i) = -2+4i 2 =-1+2i， （2）由（1）知， OA =(-4，3) ， OB =(-1，2) ，∴ | OA| = (-4 ) 2 + 3 2 =5 ， | OB |= (-1 ) 2 + 2 2 = 5 ． 由 OA ? OB =| OA | | OB |cos∠AOB ，得（-4）×（-1）+3×2= 5 5 cos∠AOB ， 解得 cos∠AOB= 2 5 ，∴ sin∠AOB= 1 5 ． ∴△OAB的面积 S= 1 2 ×5× 5 × 1 5 = 5 2 ．