Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD．（1）

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AE=9，CE=12，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°． ∵CD平分∠ECB，BC=BD， ∴∠1=∠2，∠2=∠D． ∴∠1=∠D， ∴CE ∥ BD， ∴∠DBA=∠CEB=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴BD是⊙O的切线； （2）连接AC， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°． ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵∠A+∠ABC=90°，∠A+∠ACE=90°， ∴∠ACE=∠ABC， ∴△ACE ∽ △CBE， ∴ CE EB = AE CE ，即CE 2 =AE?EB， ∵AE=9，CE=12， ∴EB=16， 在Rt△CEB中，∠CEB=90，由勾股定理得BC=20， ∴BD=BC=20， ∵∠1=∠D，∠EFC=∠BFD， ∴△EFC ∽ △BFD， ∴ CE BD = EF BF ， 即 12 20 = 16-BF BF ∴BF=10．