Question

如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°.

如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°.（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；（3）设AD=2，CD=2 ,求点A到平面PEC的距离.

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Answer 1

（1）（2）证明略，（3）1

(1) 取PC的中点G， 连接EG、FG， ∵F为PD的中点， ∴GF CD. ∵CD AB，又E为AB的中点， ∴AE GF. ∴四边形AEGF为平行四边形. ∴AF∥GE，且AF 平面PEC，因此AF∥平面PEC. (2)  PA⊥平面ABCD， 则AD是PD在底面上的射影.又ABCD为矩形， ∴CD⊥AD，则CD⊥PD.因此CD⊥AF， ∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. F为Rt△PAD斜边PD的中点， AF⊥PD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD. 由（1）知AF∥EG.∴EG⊥平面PCD. ∵EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD. （3） 由（1）（2）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC交PC于H，则FH⊥平面PEC. ∴FH的长度为F到平面PEC的距离， 即A到平面PEC的距离. 在△PFH与△PCD中，∠P为公共角， ∠FHP=∠CDP=90°， ∴△PFH∽△PCD，∴ = . ∵AD=2，PF= ，PC= = =4， ∴FH= ×2 =1. ∴A到平面PEC的距离为1.