Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C= 2π 3 ，求 a b 的值．

Answer 1

（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1， ∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin 2 B． 再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2 ，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列． （2）若C= 2π 3 ，由（1）可得c=2b-a，由余弦定理可得 （2b-a） 2 =a 2 +b 2 -2ab?cosC=a 2 +b 2 +ab． 化简可得 5ab=3b 2 ，∴ a b = 3 5 ．