Question

已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，32）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（

已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，32）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积SABCD的最大值．

Answer 1

（I）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
由已知|PF₁|+|PF₂|=4，得2a=4，∴a=2，…（2分）
又点P（1，

3

2

）在椭圆上，∴

1

4

+

9

4b2

=1，∴b=

3

，
椭圆E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，
∴S_△ABCD=4S_△OAB，
设直线AB的方程为x=my-1，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，…（6分）
S_△OAB=S△OF1A+SOF1B=

1

2

|OF₁||y₁-y₂|=

1

2

|y1-y2|
=

1

2