Question

（2011?义乌市）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F

（2011?义乌市）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=34．（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）

（2）解：连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，（4分）
∴cos∠BAD=

AD

AB

＝

3

4

，
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2；（5分）

（3）解：∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=

AE

AD

＝

3

4

，AD=3，
∴AE=ADcos∠DAE=3×

3

4

=

9

4

，（6分）
∴ED=

32?( 9 4 )2

＝

3 7

4

，（7分）
∴CD=2ED=

3 7

2

．（8分）