Question

椭圆x216+y24＝1上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为-14，则|OP|2+|OQ|2 为（　　）A．4B．20C．6

椭圆x216+y24＝1上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为-14，则|OP|2+|OQ|2 为（　　）A．4B．20C．64D．不确定

Answer 1

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）都在椭圆

x2

16

+

y2

4

＝1上，
则OP、OQ斜率分别为：

y1

x1

，

y2

x2

．
由OP、OQ斜率之积为-

1

4

，得：

y1

x1

?

y2

x2

=-

1

4

，
即x₁x₂=-4y₁y₂，平方得(x1x2) 2＝16(y1y2) 2，
又

y

2 1

＝4?

1

4

x

2 1

，

y

2 2

＝4?

1

4

x

2 2

，代入上式得：

x

2 1

x

2 2

＝16( 4?

1

4

x

2 1

)( 4?

1

4

x

2 2

)，
化简得：

x

2 1

+

x

2 2

＝16．
∴|OP|2+|OQ|2＝

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

＝

x

2 1

+ 4?

1

4

x

2 1

+

x

2 2

+ 4?

1

4

x

2 2

=

3 4 (x

2 1

+

x

2 2

)+8=12+8=20．
故选B．