Question

数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2|an|，设Tn为数列{1bnbn+1}的前n项和，求证Tn＜12．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比为q．
当q=1时，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差数列
∴q≠1，S3=

4(1-q3)

1-q

，S2=

4(1-q2)

1-q

，S4=

4(1-q4)

1-q

2S₂=S₃+S₄，
∴

8(1-q2)

1-q

=

4(1-q3)

1-q

+

4(1-q4)

1-q

，
即q⁴+q³-2q²=0．∵q≠0，q≠1，∴q=-2，
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹
（Ⅱ）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

．