Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数（1）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x?sinxcosx

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数（1）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x?sinxcosx的值；（2）求函数F（x）=f（x）f'（x）+f2（x）的最大值和最小正周期．

Answer 1

（1）∵f（x）=sinx+cosx=f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，
∴tanx=

1

3

，
∴

1+sin2x

cos2x?sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x?sinxcosx

=

2tan2x+1

1?tanx

=

11 9

2 3

=

11

6

．
（2）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+

2

sin（2x+

π

4

）．
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，F（x）_max=1+

2

，最小正周期T=

2π

2

=π．