Question

对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相

对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？

Answer 1

设n边形的不同的染色方法有p_n种．易知三角形的染色方法p₃=

A

3 3

=6．       

当n≥4时，首先，对于边a₁，有3种不同的染法，由于边a₂的颜色与边a₁的颜色不同，
∴对边a₂有2种不同的染法，类似地，对边a₃，…，边a_n-1均有2种染法．对于边a_n，用与边a_n-1不同的2种颜色染色，
但是，这样也包括了它与边a₁颜色相同的情况，
而边a₁与边a_n颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数p_n-1，
∴pn＝3×2n?1?pn?1，pn?2n＝?(pn?1?2n?1)．数列{Pn?2n}为公比为-1的等比数列，
∴pn?2n＝(?1)n?3(p3?23)＝(?1)n?2?2，
∴pn＝2n+(?1)n?2，n≥3．
综上所述，不同的染色方法数为pn＝2n+(?1)n?2．