Question

在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=2，求△AB

在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

4

，即A+C=

3π

4

；
（2）由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即2=a²+c²-

2

ac，
∴2+

2

ac=a²+c²≥2ac，即ac≤

2

2? 2

=2+

2

，
当且仅当a=c，即a=c=

2+ 2

时取“=”，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac，
∴△ABC面积的最大值为

1+ 2

2

．