Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥

如图，在平面直角坐标系xoy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC=4，BC=3，OA=5，点D在边OC上，CD=3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E． （1）求点E的坐标；（2）二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM=2S△ABM，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵BC∥OA，
∴BC⊥CD，
∵CD=CB=3，
∴∠CDB=45°，
∵BD⊥DE，
∴∠ODE=45°，
∴OE=OD=1，
∴E（1，0）；

（2）①易知B（3，4），由（1）得E（1，0），
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点B和点E．
∴

?9+3b+c＝4 ?1+b+c＝0

，
解之得

b＝6 c＝?5

，
∴二次函数的解析式为y=-x²+6x-5，
∴对称轴为直线x=3；
②设对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t），
S_△CEM=S_梯形OFMC-S_△MEF-S_△COE=

1

2

（4+t）×3-

1

2

×2×t-

1

2

×1×4=

1

2

t+4，
（ⅰ）当点M位于线段BF上时，S_△ABM=

1

2

（4-t）×2=4-t，
∵S_△CEM=2S_△ABM，
∴

1

2

t+4=2（4-t），
解得：t=

8

5

，
∴M（3，

8

5

）；
（ⅱ）当点M位于线段FB延长线上时，S_△ABM=

1

2

（t-4）×2=t-4，
∵S_△CEM=2S_△ABM，
∴

1

2

t+4=2（t-4），
解得：t=8，
∴M（3，8）．