已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(x)≠0.(Ⅰ)

已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(x)≠0.(Ⅰ)请写出一个这样的函数f(x);(Ⅱ)若f(x)满足... 已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(x)≠0.(Ⅰ)请写出一个这样的函数f(x);(Ⅱ)若f(x)满足:当x<0时,f(x)>1,猜想函数f(x)的性质,并加以证明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求满足f(x+4)>1f(x)的x的取值范围. 展开
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(Ⅰ)∵f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),
∴满足条件函数可以是指数函数y=ax(a>0且a≠1),如f(x)=2x
(Ⅱ)类比指数函数的性质得出f(x)的几个性质:
①函数f(x)的图象过定点(0,1);②f(x)值域是(0,+∞);
③函数f(x)在R上是减函数.
证明:①由于f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),而f(x)≠0,则f(0)=1;
②由于f(x)=f(
x
2
+
x
2
)=f(
x
2
)f(
x
2
)=f2(
x
2
)
≥0,而f(x)≠0,则f(x)>0;
③任取x1,x2,且x1<x2,则x1-x2<0,
∵当x<0时,f(x)>1,∴f(x1-x2)>1,
又∵函数f(x)>0,
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x2)f(x1-x2)>f(x2),
则f(x)为R上的减函数,
(Ⅲ)由(Ⅱ)得,f(0)=1,
∵f(x+4)>
1
f(x)
,且f(x)>0,
∴f(x+4)f(x)>1,即f(x+4+x)>f(0),
∵f(x)为R上的减函数,
∴x+4+x<0,解得x<-2.
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