Question

如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，M为EF中点，且DA=1，AB∥EF，AB=12EF=22，AF=BE=2．

如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，M为EF中点，且DA=1，AB∥EF，AB=12EF=22，AF=BE=2．（Ⅰ）求证：CM∥平面ADF；（Ⅱ）求三棱锥M-ADF的体积．

Answer 1

解答：（I）证明：连接CM，由题意可得，AB

∥

.

1

2

EF，AB

∥

.

CD，MF=

1

2

EF，
∴CD

∥

.

MF，
∴四边形MFDC为平行四边形，
∴DF∥CM．
∵DF?平面ADF，CM?平面ADF，
∴CM∥平面ADF．
（Ⅱ）解：∵M为EF的中点，
∴EM=AB=2

2

，
又∵AB∥EF，∴四边形ABEM是平行四边形．
∴AM=BE=2，
又∵AF=2，MF=2

2

，
∴△FAM为直角三角形且∠FAM=90°．
∴S△MAF＝

1

2

AM?AF＝

1

2

×2×2=2．
∵DA⊥面ABEF，且DA=1，∴DA是三棱锥D-MAF的高．
∴V_M-ADF=V_D-MAF=

1

3

S△MAF?DA=

1

3

×2×1=

2

3

．