Question

已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1-x）其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）-g（x）．（1）求

已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1-x）其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）-g（x）．（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

（1）由题意，得

1+x＞0?x＞?1 1?x＞0?x＜1

解得-1＜x＜1
故h（x）的定义域为（-1，1）．（3分）
h（x）的定义域为（-1，1），关于数0对称，
且h（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）
故h（x）为奇函数．（7分）
（2）由f（3）=2得a=2（9分）
h(x)＝log2(1+x)?log2(1?x)＝log2(

1+x

1?x

)＜0＝log21
即

1+x 1?x ＜1?x＜0或x＞1 ?1＜x＜1

，
解得-1＜x＜0
∴所求的x的集合{x|-1＜x＜0}（14分）