如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为菱形，∠DAB=120°，E为线段CC1的中点，F为线段BD1的中点．
如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为菱形，∠DAB=120°，E为线段CC1的中点，F为线段BD1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）当...
如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为菱形，∠DAB=120°，E为线段CC1的中点，F为线段BD1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）当D1DAD的比值为多少时，DF⊥平面D1EB，并说明理由．
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解答：（Ⅰ）证明：连接AC1，由题意可知点F为AC1的中点．
∵因为点E为CC1的中点，∴在△ACC1中，EF∥AC．…（2分）
又∵EF?面ABCD，AC?面ABCD，∴EF∥面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解：当
＝
时，DF⊥平面D1EB． …（7分）
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=120°，∴BD＝
AD．
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，∴四边形DBB1D1为矩形．
又DD1＝
AD，∴BD=DD1，∴四边形DBB1D1为正方形，∴DF⊥D1B…（10分）
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥DD1
∵四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，BD∩DD1=D，
∴AC⊥面DBB1D1．
∵DF?面DBB1D1，∴AC⊥DF，又EF∥AC，∴EF⊥DF．…（13分）
∵EF?面D1EB，D1B?面D1EB，EF∩D1B=F，∴DF⊥平面D1EB．…（14分）
∵因为点E为CC1的中点，∴在△ACC1中，EF∥AC．…（2分）
又∵EF?面ABCD，AC?面ABCD，∴EF∥面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解：当
| D1D |
| AD |
| 3 |
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=120°，∴BD＝
| 3 |
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，∴四边形DBB1D1为矩形．
又DD1＝
| 3 |
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥DD1
∵四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，BD∩DD1=D，
∴AC⊥面DBB1D1．
∵DF?面DBB1D1，∴AC⊥DF，又EF∥AC，∴EF⊥DF．…（13分）
∵EF?面D1EB，D1B?面D1EB，EF∩D1B=F，∴DF⊥平面D1EB．…（14分）
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