Question

高中数学题。求证f（x）＝x+1/（x-1）的图像关于点（1,1）中心对称。

Answer 1

不知道你是想证明还是发现，
如果仅仅是发现的话用”怪点法“；
怪1：令分母x-1=0 得x=1; 这是中心的横坐标；
怪2：把分子分母的两个常数去掉后约分得y=1; 这是纵坐标；
如果是证明：
在y=(x+1)/(x-1)上取一点，P(x,y)
P关于(1,1)点的对称点为：P '(x' y')
{x+x'=2
{y+y'=2
{x'=2-x
{y'=2-y
p'(2-x,2-y)
代入到原函数后为：
2-y=(2-x+1)/(2-x-1)
2-y=(3-x)/(1-x)
2-y=(x-3)/(x-1)
而y=(x+1)/(x-1)代入左边后，等式成立；
还有一种方法是
y-1=(x+1)/(x-1)-1=2/(x-1)
所以，原函数是由函数y=2/x向右向上各平移一个单位得到的；
再一个就是楼上的表达式；那个式子许多人看不懂；

追问

怪2怎么理解？

能不能在草稿纸上帮忙演算一下呢？

追答

怪2是纵坐标就是当x趋向于无穷大时，这个y值始终取不到；
因为双曲线的对称中心是不在双曲线上的；

追问

怎么去掉常数呀？

没看明白

追答

你的题目已不是本题；
这种怪点法适应的题是：反比例函数y=k/x
平移后的函数；
即分子是一次二项式；
分母也是一次二项式；
你的题目如果是求值域的话是用判别式法

追问

我的题目一直没变呀？怎么回事？

你看我题目里面没打括号。。。

追答

如果你的题目是：
f(x)=x+[1/(x-1)]而不是f(x)=(x+1)/(x-1)的话，我据说的方法不适合本题；
要 证明f(x)关于(1,1)点对称，只要证明将f(x)向左平移一个单位后再向下平移一个单位的函数g(x)是奇函数即可
事实上：
f(x+1)=x+1+(1/x)
f(x+1)-1=x+(1/x)=g(x)
因为g(x)是奇函数，关于原点对称，所以原函数f(x)关于(1,1)点对称；

Answer 2

取f(x)上任意一点M(x，y)，只要证明M关于(1，1)的对称点N(2-x，2-y)也在f(x)上即可

追问

？

能不能在草稿纸上帮忙演算一下呢？

追答

就是在f(x)＝x+1/（x-1）中，把f(x)换成2-y，x换成2-x，看是否成立。成立的话，(x，y)关于(1，1)的对称点也在函数上。这就证明对的,

就是在f(x)＝x+1/（x-1）中，把f(x)换成2-y，x换成2-x，看是否成立。成立的话，(x，y)关于(1，1)的对称点也在函数上。这就证明对称的,

追问

可是如果要是事先不知道关于某点对称，要我们找怎么办？

追答

那就设对称点为(m,n)，然后重复上面的过程。到最后与原来的方程比较系数，解出m,n即可

那就设对称点为(m,n)，然后重复上面的过程。到最后与原函数比较系数，解出m,n即可

满意请采纳，谢谢支持喽

不明白可追问

请尊重别人的劳动，

我觉得我的回答很尽力了

Answer 3

原式可以化为1+2/（x-1），看成Y=2/X右移1后上移1，对称点也跟着移动，从（0,0）到（1,1,）

追问

能不能在草稿纸上帮忙演算一下呢？

Answer 4

证明：f(x)+f(2-x)=0就行

追答

证明：f(x)+f(2-x)=2就行

证明：f(x)+f(2-x)=2就行
对称中心有公式：f(x)+f(2a-x)=2b
对称中心就是（a,bb）

追问

能不能在草稿纸上帮忙演算一下呢？