Question

已知函数f(x)=(x²+ax+a)/x,x∈[1,+∞],且a<1

若函数g（x）=x乘以f（x），对任意x∈[2,5]时，g（x）+2x+3/2>0恒成立，求a的取值范围

求2小时内神速答复，O(∩_∩)O谢谢
详细过程

Answer 1

g(x)=xf(x)=x²+ax+a
代入不等式：
x²+ax+a+2x+3/2>0 在[2,5]恒成立
得：a>-(x²+2x+3/2)/(x+1)=h(x)
记t=x+1, 则t的取值为[3, 6]
x=t-1,
h(x)=-[(t-1)²+2(t-1)+3/2]/t=-(t²+1/2)/t=-[t+1/(2t)]
t+1/(2t)是双钩函数，最小值当t=1/(2t)，即t=√2/2时取得，
当t在[3, 6]时， t+1/(2t)单调增，取值在[19/6, 73/12]
故h(x)的取值为[-73/12, -19/6]
而a>h(x),
因此a的取值范围是：a>-19/6