Question

如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点 E，DF⊥BC于点F．（1）求

如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点 E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵CD垂直平分线AB， ∴AC=CB． 又∵AC=CB， ∴△ABC是等腰三角形， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD=∠BCD． ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90° ∴∠EDC=∠FDC， 在△DEC与△DFC中， ∵ ∠ACD=∠BCD CD=CD ∠EDC=∠FDC ， ∴△DEC≌△DFC．（ASA） ∴CE=CF． （2）当CD= 1 2 AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下： ∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠CDA=90°， ∵CD= 1 2 AB， ∴CD=BD=AD， ∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ECFD是矩形， ∵CE=CF， ∴四边形ECFD是正方形．