Question

已知函数f（x）=lnx+ 1-x ax ，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不

已知函数f（x）=lnx+ 1-x ax ，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不是单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[e，e 2 ]上的最小值．

Answer 1

f′（x）= ax-1 ax2 （x＞0）…（2分） （1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a= 1 x 在（1，+∞）上有解， 又∵当x∈（1，+∞）时， 1 x ＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是（0，1）…（6分） （2）①当a≥ 1 e 时，因为f′（x）＞0在（e，e 2 ）上恒成立，这时f（x）在[e，e 2 ]上为增函数， 所以当x=e时，f（x） min =f（e）=1+ 1-e ae  …（8分） ②当0＜a≤ 1 e2 时，因为f′（x）＜0在（e，e 2 ）上恒成立，这时f（x）在[e，e 2 ]上为减函数， 所以，当x=e 2 时，f（x） min =f（e 2 ）=2+ 1-e2 ae2 ，…（10分） ③当 1 e2 ＜a＜ 1 e 时，令f′（x）=0得，x= 1 a ∈（e，e 2 ）， 又因为对于x∈（e， 1 a ）有f′（x）＜0， 对于x∈（ 1 a ，e 2 ）有f′（x）＞0， 所以当x= 1 a 时，f（x） min =f（ 1 a ）=ln 1 a +1- 1 a …（14分） 综上，f（x）在[e，e 2 ]上的最小值为 f（x） min = 1+ 1-e ae ，当a≥ 1 e 时 ln 1 a +1- 1 a ，当 1 e2 ＜a＜ 1 e 时 2+ 1-e2 ae2 ，当0＜a＜ 1 e2 时 …（16分）