Question

已知：一次函数y= - 1 2 x+2 的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y=ax 2 -3a

已知：一次函数y= - 1 2 x+2 的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y=ax 2 -3ax-4a（a＜0）．（1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围；（3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0，则- 1 2 x+2=0，解得x=4， 令x=0，则y=2， 所以，点B（4，0），C（0，2）， 令y=0，则ax 2 -3ax-4a=0， 整理得x 2 -3x-4=0， 解得x 1 =-1，x 2 =4， 所以，二次函数的图象过B点， 二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为A（-1，0）； （2）y=ax 2 -3ax-4a=a（x 2 -3x-4）=a（x- 3 2 ） 2 - 25 4 a， 所以，抛物线的顶点坐标为（ 3 2 ，- 25 4 a）， 当x= 3 2 时，y=- 1 2 × 3 2 +2= 5 4 ， ∵二次函数图象的顶点在一次函数图象的下方， ∴- 25 4 a＜ 5 4 ， 解得a＞- 1 5 ， ∴a的取值范围是- 1 5 ＜a＜0； （3）存在． 理由如下：∵二次函数的图象过点C， ∴a×0 2 -3a×0-4a=2， 解得a=- 1 2 ， ∴抛物线解析式为y=- 1 2 x 2 + 3 2 x+2， ∵点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）， ∴OA=1，OB=4，OC=2， ∵ OA OC = OC OB = 1 2 ， ∴△AOC ∽ △COB， ∴∠ACO=∠CBO， ∵∠CBO+∠BCO=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， ∴△ABC是直角三角形，此时点D与点C重合， 根据二次函数的对称性，当y=2时，- 1 2 x 2 + 3 2 x+2=2， 整理得，x 2 -3x=0， 解得x 1 =0，x 2 =3， ∴点D的坐标为（0，2）或（3，2）时，△ABD是直角三角形．