Question

（2011?顺城区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于

（2011?顺城区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个符合条件的点P（简要说明理由）并写出其中一个点的坐标；若不存在这样的点P，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）将点A与B的坐标代入抛物线的解析式得：

a+b+3＝0 9a?3b+3＝0

，
解得：

a＝?1 b＝?2

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）∵抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
设点E的坐标为（x，y），过点E作EF∥AB交y轴于F，
∴EF=-x，OB=3，OC=3，OF=-x²-2x+3，CF=3-（-x²-2x+3）=x²+2x，∴S_△BEC=S_梯形OBEF+S_△EFC-S_△BOC
=

1

2

（EF+OB）?OF+

1

2

EF?CF-

1

2

OB?OC
=

1

2

×（-x+3）×（-x²-2x+3）+

1

2

×（-x）×（x²+2x）-

1

2

×3×3
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴当x=-

3

2

时，△BCE的面积最大，最大面积为

27

8

；
∴y=-x²-2x+3=

15

4

，
∴点E的坐标为（-

3

2