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(2014?岳阳)如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,BC,
(2014?岳阳)如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,BC,作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是___...
(2014?岳阳)如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,BC,作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是______(写出所有正确结论的序号)①△CPD∽△DPA;②若∠A=30°,则PC=3BC;③若∠CPA=30°,则PB=OB;④无论点P在AB延长线上的位置如何变化,∠CDP为定值.
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①∵∠CPD=∠DPA,∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA,
∴△CPD∽△DPA错误;
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②连接OC,
∵AB是直径,∠A=30°
∴∠ABC=60°,
∴OB=OC=BC,
∵PC是切线,
∴∠PCB=∠A=30°,∠OGP=90°,
∴∠APC=30°,
∴在RT△POC中,cot∠APC=cot30°=
=
,
∴PC=
BC,正确;
③∵∠ABC=∠APC+∠PCB,∠PCB=∠A,
∴∠ABC=∠APC+∠A,
∵∠ABC+∠A=90°,
∴∠APC+2∠A=90°,
∵∠APC=30°,
∴∠A=∠PCB=30°,
∴PB=BC,∠ABC=60°,
∴OB=BC=OC,
∴PB=OB;正确;
④解:如图,连接OC,
∵OC=OA,PD平分∠APC,
∴∠CPD=∠DPA,∠A=∠ACO,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∵∠CPO+∠COP=90°,
∴(∠CPD+∠DPA)+(∠A+∠ACO)=90°,
∴∠DPA+∠A=45°,
即∠CDP=45°;正确;
故答案为:②③④;
∴△CPD∽△DPA错误;
②连接OC,
∵AB是直径,∠A=30°
∴∠ABC=60°,
∴OB=OC=BC,
∵PC是切线,
∴∠PCB=∠A=30°,∠OGP=90°,
∴∠APC=30°,
∴在RT△POC中,cot∠APC=cot30°=
PC |
OC |
PC |
BC |
∴PC=
3 |
③∵∠ABC=∠APC+∠PCB,∠PCB=∠A,
∴∠ABC=∠APC+∠A,
∵∠ABC+∠A=90°,
∴∠APC+2∠A=90°,
∵∠APC=30°,
∴∠A=∠PCB=30°,
∴PB=BC,∠ABC=60°,
∴OB=BC=OC,
∴PB=OB;正确;
④解:如图,连接OC,
∵OC=OA,PD平分∠APC,
∴∠CPD=∠DPA,∠A=∠ACO,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∵∠CPO+∠COP=90°,
∴(∠CPD+∠DPA)+(∠A+∠ACO)=90°,
∴∠DPA+∠A=45°,
即∠CDP=45°;正确;
故答案为:②③④;
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