Question

（2014?丽水二模）如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AA1=2，E是BB1的中点，且CE交BC1于点P，

（2014?丽水二模）如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AA1=2，E是BB1的中点，且CE交BC1于点P，点Q在线段BC上，CQ=2QB．（1）证明：CC1∥平面A1PQ；（2）若直线BC⊥平面A1PQ，求直线A1Q与平面BCC1B1所成角的余弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△BEP≌△C₁CP，E是BB₁的中点，
∴

CP

PE

＝

2

1

＝

CQ

BQ

，
∴PQ∥EB∥C₁C，
∵CC₁?平面A₁PQ，PQ?平面A₁PQ，
∴CC₁∥平面A₁PQ；
（2）解：由（1）知，PQ∥C₁C，
∴PQ∥AA₁，
∴BC⊥平面A₁PQA，
∴BC⊥AQ．
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，
∴AC=2

2

，AQ-

2 6

3

．
延长QP与C₁B相交于点H，连接A₁H，A₁Q，则
∵CC₁⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC₁B₁，
∵PQ∥AA₁，HQ∥AA₁，
∴四边形A₁AHQ是平行四边形，
∴A₁H∥AQ，
∴A₁H⊥平面BCC₁B₁，
∴直线A₁Q与平面BCC₁B₁所成角为∠A₁QH，
∴cos∠A₁QH=

QH

A1Q

=

QH

AQ2+AA12

=

15

5

．