Question

高数高手来。。图中第二问的解答看不懂。。谁能详细解释一下

图中第二问的解答看不懂。。详细解释的采纳

Answer 1

哪里没看懂呢，首先雨水必须沿着顶部流下，这就保证了其轨迹一定在S上，即轨迹方程中z满足S的方程。因此现在只考虑轨迹方程中的x和y即可，设其（投影）方程为F(x,y)=0。由于题目中说雨水沿z下降最快的方法流下，而根据梯度的意义及第一问，可知梯度gradz是下降最慢方向，故F(x,y)=0的切向量(dx,dy)应与gardz反向，设gardz=(u,v)，则dy/dx=-v/u。带人第一问的结果。得到的微分方程是可分离变量型的，结合初始条件F(1.3)=0（因为点P在S上）就可求解微分方程得到结果了。有不明白的地方欢迎追问。

追问

先第一问，我知道L方向和grad方向相反，方向导数最小，是不是用向量的坐标

就代表它的方向？题目说M是投影区域的一点，不用限制x，y的范围吗？？再看第二问，雨水顺着球面的轨迹，和轨迹在xoy投影有什么关系？第一问是-grad是方向导数最小的方向，要下降最快应该方向就是grad方向吧，怎么是-grad。。设gardz=(u,v)，则dy/dx=-v/u又是什么公式？很多不懂求一一解释

追答

第一问中的x,y当然有范围。因为S在xoy平面投影方程是椭圆，因此(x,y)在椭圆内部即可，这个范围已经暗含在结果中了，即如果x或y超出范围，则答案中的根号里面是小于0的，没有意义，因此不用专门写出范围。第二问求轨迹，已知的方程是S，只要再求出一个不含z的方程，与S的方程联立，就是轨迹方程了，而这个要求的不含z的方程就是轨迹在xoy的投影方程。grad的方向是方向导数最小的方向，而题里说雨水沿z下降最快的方向，即方向导数最大的方向，当然就是-grad的方向了。两个向量(dx,dy)和(u,v)反向，就有dy/dx=-v/u，这是高中的知识吧。。。

追问

第一问的问题。z在点M沿XOY平面什么方向方向导数最小。。z是半椭球面怎么会沿着平面XOY上的点M？？？？

轨迹在xoy的投影方程是一个曲线还是一个面？如果是曲线没办法和S相交，如果是面才有可能。看结果y=3x^(4/9)是个曲线吧，怎么和S相交出轨迹呢？

曲线的切向量xoy面（二维）上，怎么会和z下降最快的方向（三维）平行呢？
为什么F(x,y)=0的切向量是（dy，dx）??

追答

F(x,y)=0既可理解为xoy平面上的某曲线的方程，也可理解为空间直角坐标系中的某个柱面的方程，这个柱面和题里给的曲面S的交就是所求的轨迹曲线，因此轨迹在xoy平面上的投影也就是F(x,y)=0了。至于切向量的问题，建议你再看看书吧。。。

Answer 2

曲线积分我们都没有学

Answer 3

明白了