Question

求函数f(x,y)=x ^4+y ^4-4xy+1的极值

Answer 1

具体回答如下：

f（x，y）＝x＾4＋y＾4－4xy＋1

f（x，y）x＝4X＾3－4y

f（x，y）y＝4y＾3－4x

令f（x，y）x＝0，f（x，y）y＝0

则x＾3－y＝0，且y＾3－x＝0

得x＝0或x＝1

分别为当x＝0，y＝0；当x＝1，y＝1

因此，f（x，y）min＝f（1，1）＝－1

f（x，y）max＝f（0，0）＝1

求极大极小值步骤：

（1）求导数f'(x)。

（2）求方程f'(x)=0的根。

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意：f'(x)无意义的点也要讨论，即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

Answer 2

原式=x^4-2*x^2+y^4-2*y^2+2*x^2+2*y^2-4xy+1
=(x^2-1)^2+(y^2-1)^2+(根号2x-根号2y)^2-1
所以当x^2=1, y^2=1且x=y时，三个平方数都为0
所以，所求函数有极小值，且为 -1

Answer 3

f（x，y）=x⁴+y⁴-4xy+1

f'（x，y）ₓ=4x³-4y

f'（x，y）ᵧ=4y³-4x

令f'（x，y）ₓ=0，f'（x，y）ᵧ=0

则x³-y=0，y³-x=0，可得x=0或x=1

则x=0，y=0或x=1，y=1

f（x，y）ₘᵢₙ=f（1,1）=-1

f（x，y）ₘₐᵪ=f（0，0）=1

扩展资料：

函数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：

1、若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值；

2、若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值。

参考资料来源：

百度百科-极值