Question

(高数极限问题)当x趋于0时，(tanx-sinx)/{e^(x^3)-1}的极限等于？答案是1/2，求过程。

我是这样算的：(tanx-sinx)/{e^(x^3)-1}的极限等价于(tanx-x)/x^3的极限，于是由洛必达法则得到
{(secx)^2-1}/3x^2又={(sinx/x)^2}/{3(cosx)^2}此时得到极限为1/3。。这样怎么错了呢？

Answer 1

　　正确解法，用泰勒公式，tanx=x+x^3/3+o(x^3) sinx=x-x^3/3!+o(x^3) e^(x^3)-1=x^3
　　lim[x-->0](tanx-sinx)/[e^(x^3)-1]
　　=lim[x-->0][x+x^3/3+o(x^3) -x+x^3/3!-o(x^3)]/x^3
　　=lim[x-->0][x^3/2+o(x^3) ]/x^3
　　=1/2

　　你的第一步就错了， e^(x^3)-1换为x^3是可以的，因为而这等价，并且与分子是相除关系。分子的sinx是不能换成x的，因为它与tanx是相减关系，等价无穷小替换只能用于乘除乘方，不能用于加减。如果您不换，直接用罗比塔法则是可以的，您试一下就知道了。

Answer 2

等价无穷小的替换,谁允许你分子只换sinx的?等价替换不能用於加减法你们老师没教过吗?
分母替换成x³,分子是tanx-sinx,一样可以整体替换
tanx=x+x³/3+o(x³),sinx=x-x³/6+o(x³)
∴tanx-sinx=x³/2+o(x³)
原式=lim(x→0)[x³/2+o(x³)]/x³=1/2

追问

谢谢了，我在自学。。没老师。等价替换还有其他的要求吗？

追答

乘除法可以用,加减法不能用,加减法要替换,必须进行泰勒公式展开到与分母次数相同的那一项,再进行化简.像我上面就是把tanx-sinx整体替换了.