Question

AD是△ABC的角平分线，如果AB+CD=AC+BD。求证：AB=AC

Answer 1

证明：

在AB上截取BE=BD，在AC上截取CF=CD，连接DE、DF。

则∠BED=∠BDE，∠CFD=∠CDF

∵AB+CD=AC+BD

∴AB-BD=AC-CD

∴AB-BE=AC-CF

即AE=AF

∵AD是角平分线

∴∠EAD=∠FAD

又∵AD=AD

∴△EAD≌△FAD（SAS）

∴∠AED=∠AFD

则∠BED=∠CFD（等角的补角相等）

∵∠B=180°-∠BED-∠BDE=180°-2∠BED

   ∠C=180°-∠CFD-∠CDF=180°-2∠CFD

∴∠B=∠C

∴AB=AC