Question

已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列。求证a2,a8,a5成等差数列。

Answer 1

s3=a1(1-q^3)/(1-q)
s9=a1(1-q^9)/(1-q)
s6=a1(1-q^6)/(1-q)
s6-s9=s9-s3,代入得：2q^9=q^3+q^6
即：2q^7=q+q^4
若a2,a8,a5成等差数列
那么a5-a8=a8-a2,a2+a5=2a8
即：a1q+a1q^4=2a1q^7
因为2q^7=q+q^4
所以a2,a8,a5成等差数列

Answer 2

令公比是q，a1=a

S3=a*(q^3-1)/(q-1)
S6=a*(q^6-1)/(q-1)
S9=a*(q^9-1)/(q-1)

S3,S9,S6成等差数列
2a*(q^9-1)/(q-1)=a*(q^3-1)/(q-1)+a*(q^6-1)/(q-1)
把a/(a-1)约分
2q^9-2=q^3-1+q^6-1
2q^9=q^3+q^6
把a^2约分
2q^7=q+q^4

a2=aq,a5=aq^4,a8=aq^7
因为2q^7=q+q^4，且等比数列元素不等于0，所以a不等于0
所以2aq^7=aq+aq^4
2a8=a2+a5
所以a2,a8,a5成等差数列。

Answer 3

等比数列{an},各项均不能为0
2S9=S3+S6
(a4+a5+a6+a7+a8+a9)+(a7+a8+a9)=0
(a4+a5+a6)=-2(a7+a8+a9)
(1+q+q^2)=-2(q^3+q^4+q^5)
1=-2q^3
q^3=-1/2
2a8-(a2+a5)=a2*(q^6-1-q^3)=a2*0=0
所以2a8=a2+a5
即a2,a8,a5成等差数列