Question

高等数学求极限

Answer 1

题目应该是有两种解法。
这题是对函数列的积分求极限，有积分和求极限两个步骤，最先想到的办法应该是按顺序计算积分和求极限，如果函数列容易积，问题就解决了，这个函数列我们可以利用一下1/(1-x)=1+x+x²+x³+...
因此我们有1/(1+x)=1/(1-(-x))=1-x+x²-x³+...
所以x^n/(1+x)=x^n∑(-x)^k (k是自然数)
这就可以积分了，积分的结果是∑1/(n+1+k)·(-1)^k (k是自然数)
对n求极限，结果是0.
另外一种解法是：
我们看到对于函数列fn(x)=x^n/(1+x)，求极限要比积分容易做。所以我们可以考虑交换这两个步骤，即先求极限再积分。求极限和积分可交换并不总是成立，但我们知道当函数列一致收敛时是可交换的，因此我们应当考虑这个函数列的一致收敛性。很不幸，函数列fn(x)=x^n/(1+x)在区间(0,1)上并不是一致收敛的，因此对于整个积分区间而言，并不能直接交换求极限和积分。但是，函数列fn(x)=x^n/(1+x)在区间(0, δ)(任意δ<1)上一致收敛到0，也就是说求极限和积分在积分区域是(0, δ)时可交换，既然这部分可以计算，我们就把这部分拆出来单独计算，也就是说问题变为
lim(∫ x^n/(1+x) dx 积分的上下限为0到δ)(n→∞)①
+lim(∫ x^n/(1+x) dx 积分的上下限为δ到1)(n→∞)②
其中①=∫ lim x^n/(1+x) (n→∞) dx 积分的上下限为0到δ=0 （因为函数列一致收敛到0）
因为δ是任意小于1的数，δ的值越接近于1，②的值就越小，δ可以任意接近于1，②的值就只能是0. 因此我们推测原式=①+②=②=0，然后我们要证明这个结论。
对于任意的ε>0, 我们取δ=1-ε, 可以得到①+②=②<∫ dx 积分的上下限为δ到1=ε, 又因为原式的结果是大于等于0的，因此原式的结果为0.

Answer 2

先求微分求出原式，再根据n趋近于无穷求极限，极限应该是ln2

Answer 3

你学过“含参变量的积分”吗？

Answer 4

追问

答案是0

追答

这个才对