Question

有关极限的证明题目～（大一级别的）

一.根据函数极限的定义证明：
1.lim(下面是x→3)(2x-1)=5
2.lim(下面是x→无穷大）（sinx/根号x)=0

二.证明若x→正无穷及x→负无穷时，函数f(x)的极限都存在且都等于A，则lim(下面是x→无穷大）f(x)＝A.

Answer 1

题目不难，就是符号难打
一、1、任给ε>0,要使│f(x)-5|=|(2x-1)-5|=2|x-3| <ε成立，只要
取δ=ε/2,则对一切0<│x-3│<δ总有│f(x)-5| <ε
2、因为│sinx/√x│<=1/√x,要使│sinx/√x│<ε，只要取1/√x<ε
即x>1/ε^2,取正数M=1/ε^2，那么对一切x>M，总有│sinx/√x│<ε

二、因为lim(x→+∞)f(x)=A,所以任给ε>0,总存在M1>0，对于一切x>M1恒有
│f(x)-A│<ε
同理因为lim(x→-∞)f(x)=A，任给ε>0，总存在M2>0，对于一切x<-M2恒有
│f(x)-A│<ε
取M=max{M1,M2},则当│x│>M时有x>M>=M1和x<-M<=-M2,所以│f(x)-A│<ε总成立
这说明limf(x)=A(x→∞)

给分哈！

Answer 2

|f(x)-5|=|2x-1-5|=2|x-3|
为了使|f(x)-5|<ε,只要
|x-3|<ε/2
所以，任意的ε>0
可取δ=ε/2
则当0<|x-3|<δ

|f(x)-5|<ε
因此lim(下面是x→3)(2x-1)=5

下面用同样的方法可证

Answer 3

一
1应该是根据函数的增减性来判断值
2是上下分别来比。sinx最大和最小值为1和-1，而根号x无穷大，lim(下面是x→无穷大）1/根号x=0，lim(下面是x→无穷大）-1/根号x=0，于是成立

这是高中学的。。。于是不知道符不符合你的要求。。。。