Question

初三数学题(高手进!!在线等!)

一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲,乙之间进行,裁判先在黑板上写出下面的正整数2,3,4.......2006,然后随意擦去一个数,接下来由乙,甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜.按照这样游戏规则,求甲获胜的概率.用具体的数字作答
要写出详解,在线等!!!!!

Answer 1

解：由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数。注意到
2，3，4，…，2006中有1002个奇数，有1003个偶数；
（1）若裁判擦去的是奇数，此时乙一定获胜．
乙不管甲取什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜，
（2）若裁判擦去的数是偶数，此时甲一定获胜。
设裁判擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对：（2，3），…，（2m-2,2m-1）,(2m+1,2m+2), …，(2005,2006).
这样，不管乙取哪一个数，甲就去所配数对中的另一个数，这样最后剩下的两数必然互质，故甲胜．
所以，甲获胜的概率为1003/2005 ．

Answer 2

厉害！