Question

高等数学积分问题，照片中画红线部分，为什么上边说f(x)有跳跃间断点，则f(x)一定不存在原函数。

高等数学积分问题，照片中画红线部分，为什么上边说f(x)有跳跃间断点，则f(x)一定不存在原函数。而底下画红线部分又说f(x)有跳跃间断点，变上限函数确实存在且连续的，F(x)不是也是一个原函数吗？为什么上边说不存在，底下又说存在

Answer 1

前面说的是原函数。后面的F(x)是积分，并没有说F(x)是原函数啊！是积分存在，原函数不存在。积分和原函数是不同的概念。

Answer 2

f（x）可积 和 存在原函数 不是 同一个概念~
两者不能互推的

追问

能说的再详细些么

追答

f（x）如果可积则f（x）连续，或有界且有个间断点，或（还有一个条件，但我忘记了，好像是单调吧）
f（x）如果存在原函数 的条件是 f（x）连续。
这么说吧，
f（x）可积 是说明F（x）= ∫f（x）dx 存在（且天生连续），但是这个F（x）不一定可导。
f（x）存在原函数 是说存在 F（x） ，使得F‘（x）=f（x）

追问

答非所问啊，我想问的是为啥上边红线说f(x)有跳跃间断点，则一定没有原函数。下边红线又说f(x)有跳跃间断点，又存在一个原函数F(x)呢，上下说法矛盾

追答

说了 可积和存在原函数是不一样的啊，下面的F（x）= ∫f（x）dx 只是说明f（x）可积 但不代表F（x）是f（x）的原函数啊

追问

原来如此

Answer 3

楼主你这是什么教材啊，真详细啊

Answer 4

我也是很迷

Answer 5

疑问一：这个问题不仔细看，给人感觉是矛盾的，请注意看，f(x)存在跳跃间断点，由“如果风f(x)在[a,b]上有跳跃间断点x0属于（a,b）,则f(x)在[a,b]上一定不存在原函数”可知，f(x)在正负无穷区间不存在不存在原函数（整个区间而言），但并不否认f(x)在x>0（或<<0）时存在原函数（局部而言）。有贴吧说举例中所求不是原函数，这是错误的，前后仅是整体与局部的关系而已，并不矛盾。疑问二：结论一中的F(x)?局部来说F(x)可以理解为原函数，而结论一中的“F(x)”不能理解为整个区间的原函数，它只是两个局部原函数的组合体，仔细去揣摩原函数定义自然就理解了。综上两点，不矛盾。
注意：虽说原函数定义由不定积分来定的，但具体来说，往往是某函数在某个区间来判断其是否存在，时刻要注意是针对哪个区间而言。