Question

概率论组合数学难题求解

5个编了号的屋子，让m个不同的人进入，第一第二个屋子要求进入的人数相等，问有多少种分配方案?
我要的是关于m的具体代数式 列的c(m,2k)*c(2k,k)*3^(m-2k) k从0加到m/2 m为偶数情况 奇数类似 不好化简,希望用概率的方法加些对立的条件求解,化简也行

Answer 1

★★★方法一：排列组合求解
假设进入第一第二个屋子的人数都为k（k<m/2）
则分配方案为:
A(k)=C(m, k)*C(m-k,k)*3^(m-2k)
={(m!/ (k! (m-k)!)}*{(m-k)!/(k!(m-2k)!)}*3^(m-2k)
={m! / (k!k!(m-2k)!)} *3^(m-2k)

A(k-1)=C(m, k-1)*C(m-k+1,k-1)*3^(m-2k+2)
={m! / ((k-1)! (k-1)! (m-2(k-1))!)} *3^(m-2(k-1))

总分配方案数＝A1+A2+A3+…+An
当m为偶数时：n=m/2
当m为奇数时：n=(m-1)/2

★★★方法二：多项式定理求解
★★★构思：假设5个房间分别为x1、x2、x3、x4、x5，从m个人选1个进入这5个房间，得到的方案表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)，各系数和为5即为分配方案数量。再选1个进入这5个房间可表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)^2，该式可分解为：
(x1+x2+x3+x4+x5)^2
=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+x5^2+2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x1x5+2x2x3+2x2x4+2x2x5+2x3x4+2x3x5+2x4x5
系数和为25=5^2
如此取m次后的分配方案表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)^m
其系数和为5^m,即分配方案总和为5^m种

根据多项式定理：
(x1+x2+x3+x4+x5)^m
=∑(m!/(m1!m2!m3!m4!m5!))*x1^m1* x2^m2* x3^m3* x4^m4* x5^m5
(其中：m1+m2+m3+m4+m5=m)

那么当m1=m2=k时即为第一第二房间进入相同人数的分配方案：
∑(m!/(k!k!m3!m4!m5!))*x1^k* x2^k* x3^m3* x4^m4* x5^m5
(其中：k+k+m3+m4+m5=m)

分配方案数量为系数和：
∑(m!/(k!k!m3!m4!m5!))(其中：k+k+m3+m4+m5=m)
k的最小值为0，最大值为m/2或(m-1)/2。

Answer 2

方法一：排列组合求解
假设进入第一第二个屋子的人数都为k（k<m/2）
则分配方案为:
A(k)=C(m, k)*C(m-k,k)*3^(m-2k)
={(m!/ (k! (m-k)!)}*{(m-k)!/(k!(m-2k)!)}*3^(m-2k)
={m! / (k!k!(m-2k)!)} *3^(m-2k)

A(k-1)=C(m, k-1)*C(m-k+1,k-1)*3^(m-2k+2)
={m! / ((k-1)! (k-1)! (m-2(k-1))!)} *3^(m-2(k-1))

总分配方案数＝A1+A2+A3+…+An
当m为偶数时：n=m/2
当m为奇数时：n=(m-1)/2

方法二：多项式定理求解
构思：假设5个房间分别为x1、x2、x3、x4、x5，从m个人选1个进入这5个房间，得到的方案表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)，各系数和为5即为分配方案数量。再选1个进入这5个房间可表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)^2，该式可分解为：
(x1+x2+x3+x4+x5)^2
=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+x5^2+2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x1x5+2x2x3+2x2x4+2x2x5+2x3x4+2x3x5+2x4x5
系数和为25=5^2
如此取m次后的分配方案表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)^m
其系数和为5^m,即分配方案总和为5^m种

根据多项式定理：
(x1+x2+x3+x4+x5)^m
=∑(m!/(m1!m2!m3!m4!m5!))*x1^m1* x2^m2* x3^m3* x4^m4* x5^m5
(其中：m1+m2+m3+m4+m5=m)

那么当m1=m2=k时即为第一第二房间进入相同人数的分配方案：
∑(m!/(k!k!m3!m4!m5!))*x1^k* x2^k* x3^m3* x4^m4* x5^m5
(其中：k+k+m3+m4+m5=m)

分配方案数量为系数和：
∑(m!/(k!k!m3!m4!m5!))(其中：k+k+m3+m4+m5=m)
k的最小值为0，最大值为m/2或(m-1)/2。
祝你学习进步

Answer 3

c(m,2k)*c(2k,k)*3^(m-2k)/2

★★★方法二：多项式定理求解
★★★构思：假设5个房间分别为x1、x2、x3、x4、x5，从m个人选1个进入这5个房间，得到的方案表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)，各系数和为5即为分配方案数量。再选1个进入这5个房间可表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)^2，该式可分解为：
(x1+x2+x3+x4+x5)^2
=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+x5^2+2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x1x5+2x2x3+2x2x4+2x2x5+2x3x4+2x3x5+2x4x5
系数和为25=5^2
如此取m次后的分配方案表示为：(x1+x2+x3+x4+x5)^m
其系数和为5^m,即分配方案总和为5^m种

根据多项式定理：
(x1+x2+x3+x4+x5)^m
=∑(m!/(m1!m2!m3!m4!m5!))*x1^m1* x2^m2* x3^m3* x4^m4* x5^m5
(其中：m1+m2+m3+m4+m5=m)

那么当m1=m2=k时即为第一第二房间进入相同人数的分配方案：
∑(m!/(k!k!m3!m4!m5!))*x1^k* x2^k* x3^m3* x4^m4* x5^m5
(其中：k+k+m3+m4+m5=m)

分配方案数量为系数和：
∑(m!/(k!k!m3!m4!m5!))(其中：k+k+m3+m4+m5=m)
k的最小值为0，最大值为m/2或(m-1)/2。

Answer 4

介绍用一种特殊的方法来做，我忘了方法名字了,我说清楚做法你可以自己写出来.
列一个多项式关于五个变量x1x2x3x4x5
这是一个齐次多项式，次数为m
x1x2x3x4x5分别代表了5个屋子,各自头上的次数代表进入的人，
令多项式f=（x1+x2+x3+x4+x5）^m，x1与x2头上次数相同的所有项前面的系数和恰为所求的分配方案总数。

先看懂这个多项式f表达的意思。这是一个非常有趣的方法。
你可以代入一些具体数字，甚至可以代入一些复数来用简单的计算来算出答案.
或者就从多项式的乘法中你也可以看出问题变换中的妙处.

用这个方法应该可以做出你想要的答案形式，太晚我先睡觉了,希望你看明白了融会贯通,自己就能搞定.要不就等我睡醒了来做哈~

Answer 5

0.两个房间各有0个人，情况是C(m,0)*C(m-1,0)*3^(m-2*0)
1.两个房间各有1个人，情况是C(m,1)*C(m-1,1)*3^(m-2*1)
2.两个房间各有2个人，情况是C(m,2)*C(m-2,2)*3^(m-2*2)
...
n.两个房间各有n个人，情况是C(m,n)*C(m-2,n)*3^(m-2n)
....

所以所有的可能情况是
C(m,n)*C(m-2,n)*3^(m-2n)
对n从0到[m/2]求和

其中[m/2]表示不超过m/2的最大整数，当m是偶数时[m/2]=m/2
当m是奇数时,[m/2]=(m-1)/2

不用在做其他讨论了

这个和式好像很难化简了