高中数学 十一题怎么做？ 20
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由方程知其焦点在x轴，过（其中一个）焦点且垂直实轴
说明A，B两点的横坐标为 |c|，于是代入双曲线方程有
c²/a²-y²/b²=1 即 e²-y²/b²=1
又，△AOB是等边△，tan²30°=1/3，即 y²=c²/3，y²/b²=c²/(3b²)
又，双曲线中 c²=a²+b² 即 b²=c²-a²
所以 y²/b²=c²/(3c²-3a²) 颠倒一下 b²/y²=(3c²-3a²)/c²=3-3/e²=(3e²-3)/e²
再倒回来 y²/b²=e²/(3e²-3)
于是结果得到 e²-e²/(3e²-3)=1 即 3e^4-3e²-e²=3e²-3
即 3e^4-7e²+3=0 取i大于1的正根（因为c>a所以e>1,e²>1）得
e²=(7+根13)/6
说明A，B两点的横坐标为 |c|，于是代入双曲线方程有
c²/a²-y²/b²=1 即 e²-y²/b²=1
又，△AOB是等边△，tan²30°=1/3，即 y²=c²/3，y²/b²=c²/(3b²)
又，双曲线中 c²=a²+b² 即 b²=c²-a²
所以 y²/b²=c²/(3c²-3a²) 颠倒一下 b²/y²=(3c²-3a²)/c²=3-3/e²=(3e²-3)/e²
再倒回来 y²/b²=e²/(3e²-3)
于是结果得到 e²-e²/(3e²-3)=1 即 3e^4-3e²-e²=3e²-3
即 3e^4-7e²+3=0 取i大于1的正根（因为c>a所以e>1,e²>1）得
e²=(7+根13)/6
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