Question

高等数学：求极限，图中的（1-cosx）能否直接代换成1/2x^2；（ln（1-x））能否直接代换

高等数学：求极限，图中的（1-cosx）能否直接代换成1/2x^2；（ln（1-x））能否直接代换成x

Answer 1

你这样做是不行的。

追问

3楼说可以的，说有些情况下，加减法可以代换，你觉得对吗？

追答

首先，从根本上来说，加减法中是不能替换的。但是某些加减法中，进行变形后，可以实际上进行替换。给你举个例子

而这个题目正是因为当x→0时，ln（1+x）/x²的极限是不存在的，所以不能分开然后替换。

追问

有论文类似这么说，lim x→0 (a+b)/c,如果a的无穷小除以b的不穷小≠1的话， 这个a和b就可以用各自的等价无穷小替换。
那”a的无穷小除以b的无穷小穷小=-1“时，a和b能否用各自的等价无穷小替换。

追答

确实看过这样的说法，说如果a、b替换后，是相同的式子（例如替换后都是x），就不能替换；如果替换后，不是相同的式子（例如一个是x，一个是2x），就能替换。

追问

根据这个说法，x→0，[sinx-1+(1-x)^-1]/x^2,如果用等价代换，这个就不成立了

追答

为了这道题，做得够呛，现查资料，这样做。

当年学的时候，还没这样的方法。只能现学了。

追问

真是麻烦你了，这么仔细的解释了好几遍，这个泰勒公式貌似没有学过有点模糊了。。。。
干脆在加减法时不用等价无穷小替换了，容易弄错。
lim x→0 (a±b)/c,如果a的无穷小除以b的无穷小≠常数的话， 这个a和b就可以用各自的等价无穷小替换。

这句话我感觉能概括！

好像也不能概括，比如sinx+tanx就能替换

追答

应该是lima/b≠1的时候，（a-b）/c可以替换。lima/b≠-1的时候，（a+b）/c中可以替换。
因为如果lima/b=1，说明a、b本身就是等价的无穷小，那么（a-b）/c替换后就是相同的两个无穷小相减，那么就会为0，这样做就不正确了。
而如果lima/b=-1，说明a和-b是等价的无穷小，那么（a+b）/c替换后，就是相反的两个无穷小相加，那么就会为0，这样做就不正确了。

追问

两个无穷小的比值为1是等价无穷小，那比值为-1时，也是等价无穷小吗

追答

而如果lima/b=-1，说明a和-b是等价的无穷小，我说了是a和-b是等价的无穷小。所以替换后，a+b就变成两个相反的无穷小相加

其实就是把（a+b）/c变成[a-（-b）]/c，而lima/b=-1就得到lima/（-b）=1。所以根据前面的因为如果lima/b=1，说明a、b本身就是等价的无穷小，那么（a-b）/c替换后就是相同的两个无穷小相减，那么就会为0，得到lima/（-b）=1，所以a和-b是等价的无穷小，[a-（-b）]/c替换后就是相同的两个无穷小相减，那么就会为0。
加法是可以变为减法的。

追问

那句话不是针对上面的问题，就单独的一句话！比为1是等价无穷小，比为-1不知道是什么

追答

我说了啊，比为-1的时候，a和-b是等价嘛。所以加法中不能替换。
这就解释了为什么sinx+tanx能替换的原因。因为limsinx/tanx=1≠-1
所以sinx+tanx能替换，sinx-tanx不能替换。

Answer 2

在这里可以,但不是所有的加减法都能直接替换.

追问

老师说不能在加减情况下使用无穷小量等价代换，但您说有些加减情况下可以使用。这个要怎么区分的！有点模糊！

追答

对于α+β型的无穷小,如果用来替换的α'/β'≠-1,那么就可以整体换成α'+β'

追问

是不是说［sinx-1+（1+x）^（-1）］/x^2，x趋于0。
这个式子的加减就不能用等价无穷小替换了吗？
按你的说，那不是sinx-cosx x→0，变成 x-x，您说的不就不正确了

追答

sinx-cosx是无穷小?你在逗我?

Answer 3

lim(x->0) [(1-cosx)x +ln(1+x)] / x^2 ->∞

分子 ： order (x)
分母 ： order (x^2)

追问

能写的详细点吗，没看懂…

追答

x->0
(1-cosx)~ (1/2)x^2
x(1-cosx) ~ (1/2)x^3

ln(1+x) ~ x - (1/2)x^2

x(1-cosx) + ln(1+x) ~ x
分子 ： order (x)

Answer 4

可以的

追答

额。。不可以

刚刚没看好。。等价代换只能用于乘除不能用于加减

追问

但是这样写不就可以了吗？

追答

嗯嗯可以