Question

如何证明内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形

Answer 1

设AB在直径上，C在圆上，半径为R

向量AC=向量OC-向量OA，向量BC=向量OC-向量OB

则向量AC*向量BC=（向量OC-向量OA）（向量OC-向量OB）

=R^2-R^2cosq角COB-R^2cos角AOC-R^2

= -R^2cosq角COB-R^2cos角AOC

因为角COB+角AOC=180，cos角COB+角AOC=0

所以-R^2cosq角COB-R^2cos角AOC=0

所以AC垂直于BC

【内接三角形】

如果圆O上有三个互不重合的点A、B、C，则这三点构成的△ABC叫做"圆O的 内接三角形" 。

【定理】

1、三角形的外接圆有关定理：三角形各边 垂直平分线的交点，是 外心。外心到三角形各顶点的距离相等。外心到三角形各边的垂线平分各边。

2、三角形的内切圆有关定理：三角形各内 角平分线的交点，是 内心。内心到三角形各边的距离相等。三角形任一顶点到 内切圆的两切线长相等。三角形顶点到内切圆的 切线长，是这点到圆心的距离与它圆外部分的 比例中项。

Answer 2

【命题】设AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的一点，求证：△ABC是直角三角形。

【证明】

连接OC，

∵OA=OB=OC（圆心到圆上的距离处处相等），

∴∠OAC=∠OCA（等边对等角），

  ∠OBC=∠OCB，

∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB（等量加等量，和相等），

即∠OAC+∠OBC=∠ACB，

∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°（三角形内角和180°），

∴2∠ACB=180°（等量代换），

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形。

Answer 3

o是圆点

OA=OC=OB

△AOC、△BOC都是等腰三角形（∠A=∠OCA、∠B=∠OCB）

∠A+∠OCA+∠B+∠OCB=180°

∴∠OCA+∠OCB=90°