Question

求救！一道高中的数学题，高手来帮个忙！

已知f(x)=x2+ax+3-a在区间[-2.2]上恒非负，求实数a的取值范围。（过程越详细越好，谢谢了）

Answer 1

f(x)=[x-(-a/2)]^2-a^2/4+3-a
对称轴x=-a/2
若-a/2<-2,a>4
则f(x)在对称轴右边，所以递增
此时x=-2是最小值
所以f(-2)>=0即可
f(-2)=(-2)^2+a(-2)+3-a>=0
-3a+7>=0
a<=7/3,和a>4矛盾

若-2<=-a/2<=2
-4<=a<=4
则对称轴在区间内，
x=-a/2，最小值=-a^2/4+3-a>=0
a^2+4a-12<=0
(a-2)(a+6)<=0
-6<=a<=2
所以-4<=a<=2

若-a/2>2,a<-4
则f(x)在对称轴左边，所以递减
此时x=2是最小值
所以f(-2)>=0即可
f(2)=2^2+2a+3-a>=0
a+7>=0
a>=-7
所以-7<=a<-4

综上
-7<=a<=2

Answer 2

判别式小于0成立
大于0时有 f（2）、f（-2）大于0和对称轴小于等于负2.三个方程联立。

Answer 3

f(x)=x2+ax+3-a=(x+a/2)^2+3-a-a^2/4
-a/2<-2,a>4时
f(x)>f(-2)=(-2+a/2)^2+3-a-a^2/4=7-3a≥0,a≤7/3
解集：Φ
-a/2>2,a<-4时
f(x)>f(2)=7+a≥0,a≥-7
解集：[-7,-4)
-a/2∈[-2,2],a∈[-4,4]时
f(x)≥3-a-a^2/4≥0,-6≤a≤2
解集：[-4,2]

所以，实数a的取值范围：[-7,2]