两矩阵等价和两向量组等价的区别和联系是什么
区别：
一、定义
两矩阵等价：如果B可由A经过一系列初等变化得到，那么A,B等价。
A,B等价<=>存在s级矩阵P和n级矩阵Q使得A=PBQ
两向量组等价：是两个向量组可以互相线性表出。假设两个向量组分别为a1,a2,...,ar和b1,b2,...,bs，那么a1,a2,...,ar可由b1,b2,...,bs线性表出的意思是每一个ai(i=1,2,…,s)都可以由b1,b2,...,bs的某一个线性组合表示出来。
二、两个向量组等价，它们组成的矩阵不一定等价。
解释：两个等价的向量组所含向量个数可以不同，比如上面的定义中，一组向量有r个，而另一组有s个。但对于两个等价的矩阵，两矩阵必定是相同规格的。所以两等价向量组组成的矩阵不一定等价。
三、两个矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价。
例：矩阵A=[第一行10 第二行0 0],B=[第一行0 0 第二行0 1] ,则容易看出A经一次初等行变换和一次初等列变化就可以化为B，即A,B等价，但A的列向量组与B的列向量组显然不能互相线性表出，同样他们的行向量组也不等价。故两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价。
联系：
一、如果一个矩阵只经过初等行（或列）向量变成另一个矩阵，那么对应向量组等价。
证明：若s×n级矩阵A,B等价<=>存在s级矩阵P和n级矩阵Q使得A=PBQ.这里将两个s×n级的矩阵都看作由n个s维的列向量，即A=(a1,a2,...,an),B=(b1,b2,...,bn),其中ai和bi都为s维向量(i=1,2,...n)则A=(a1,a2,...,an)=P(b1,b2,...,bn)Q
若P=E，则A=(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)Q，即矩阵B只经过初等列变换得到A，同时右乘Q^-1得到(a1,a2,...,an)Q^-1=(b1,b2,...,bn)，容易得到a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn两个向量组等价。
若Q=E，则A=(a1,a2,...,an)=P(b1,b2,...,bn)，即矩阵B只经过初等行变换得到A，同时左乘P^-1得到P^-1(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)，容易得到a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn两个向量组等价。
二、两个向量组等价且向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价。
证明：如果向量组a1,a2,...,an与b1,b2,...,bn等价，则它们有相同的秩，那么由a1,a2,...,an与b1,b2,...,bn分别组成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，可以得到矩阵A与B等价。
