Question

初中数学，与三角形、动点问题有关

已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=（）时，△PBC是直角三角形。（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．请特别说明（2）BP与BQ之间的关系的原因。请真诚一点，不要抄网上的答案！！

Answer 1

（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，
∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，
所以t=
3
2
（2分）

（2）当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ，
3-t=0.5t，所以t=2；
当∠BQP=90°时，BP=2BQ，
3-t=2t，所以t=1；
所以t=1或2（s）（4分）

（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，
所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，
又因为∠A=60°，
所以AD=2AP，2t+t=3，
解得t=1（s）；（2分）

（4）相等，如图所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，
所以，∠G=∠AEP，
因为

∠G＝∠AEP
∠APE＝∠CQG
AP＝CQ

，
所以△EAP≌△GCQ（AAS），
所以PE=QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．

追问

（2）的解答中，为什么BP=0.5BQ，BP=2BQ