Question

“常微分方程初值问题的Runge-Kutta方法的研究与实现。” 根据上面题目要求进行C程序设计

Answer 1

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例如：
三、 使用经典龙格-库塔算法进行高精度求解

　　龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。同前几种算法一样，该算法也是构建在数学支持的基础之上的。对于一阶精度的欧拉公式有：

　　yi＋1＝yi＋h*K1
　　K1=f(xi,yi)

　　当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi＋1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：

　　yi＋1＝yi＋h*( K1+ K2)/2
　　K1=f(xi,yi)
　　K2=f(xi+h,yi+h*K1)

　下面的具体程序实现同改进的欧拉算法类似，只需作些必要的改动，下面将该算法的关键部分代码清单列出：

……
for(float x=0;x<0.6;x+=0.1)
{
r=x+expf(-x);
K1=x-y[i]+1; file://求K1
K2=(x+(float)(0.1/2))-(y[i]+K1*(float)(0.1/2))+1; file://求K2
K3=(x+(float)(0.1/2))-(y[i]+K2*(float)(0.1/2))+1; file://求K3
K4=(x+0.1)-(y[i]+K3*0.1)+1; file://求K4
y[i+1]=y[i]+(float)(0.1*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6); file://求yi+1
r=fabs(r-y[i]); file://计算误差
str.Format("y[%d]=%f r=%f\r\n",i,y[i],r);
i++;
msg+=str;
}
AfxMessageBox(msg); file://报告计算结果及误差情况