Question

高数反函数

Answer 1

根式内恒大于0

∴定义域x∈R

f'(x)<0 f(x)为单调减函数

lim(x→-∞)f(x)=lim(x→-∞)(√x²-x+1+√x²+x+1)/(-2x)=1

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→-∞)(√x²-x+1+√x²+x+1)/(-2x)=-1

∴y∈(-1,1)

y²=x²-x+1+x²+x+1-2√(x⁴+x²+1

4x⁴+4x²+4=(2x²+2-y²)=4x⁴+8x²+4-4x²y²-4y²+y⁴

4x²-4x²y²-4y²+y⁴=0

x²=(4y²-y⁴)/4(1-y²)

x=±√[(4y²-y⁴)/4(1-y²)]

∴反函数y=√[(4x²-x⁴)/4(1-x²)]  (-1<x<0)

            y=-√[(4x²-x⁴)/4(1-x²)] (0≤x<1)

追问

但书上解题思路里面有一句y与x反号啥意思

怎么看出来的

它的反函数没有分情况

写了因为x与y反号啥意思所以开根号后为-y/2

追答

x0 x>0时yx,∴√x²-x+1>√x²+x+1,√x²-x+1-√x²+x+1>0,反之，x>0时√x²-x+1-√x²+x+1<0,很容易看出来的。）
把y²从根式中提出来是|y|,结合y与x反号，为-y，的确没有必要分段了（把我的答案再化简一步，就变成同一表达式了）。

追问

谢谢