Question

函数单调性与导数的关系问题

已知函数f(x)=x^3-ax-1
若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围
解答如下这是参考书的解题过程
由已知f'(x)=3x^2-a
因为f(x)在R上是单调递增函数
所以f'(x)=3x^2-a>=0在R上恒成立
即a<=3x^2对x属于R恒成立
因为3x^2>=0
所以只需a<=0
检验a=0时，f'(x)=3x^2>=0,f(x)=x^3-1在R上是单调递增的
所以a<=0
（不明白的地方在于，这边“所以f'(x)=3x^2-a>=0在R上恒成立”已包含了等于0的情况了。为什么后面还要检验a=0的情况，还是应把“所以f'(x)=3x^2-a>=0在R上恒成立”改为所以f'(x)=3x^2-a>0在R上恒成立”）

Answer 1

f'(x)>=0不是f(x)单调递增的充要条件。
具体的说，f'(x)可以有孤立的零点，但不能在一个区间都为0。
如果a=0，那么f(x)就存在在一个区间都为0的可能，所以需要检验一下。

Answer 2

f(x)>=0不是f(x)单调性的充要条件，所以要检验